속도, Circular Orbital Moti on & Orbital Velocity [로켓 추진] 6. 원궤도 운동과 궤도

 

지난 두 개의 포스팅에 걸쳐 로켓 추진의 가장 기본이 되는 방정식인 티오르코프스키의 로켓 방정식에 대해 알아봤습니다. 이번에는 로켓이 지구를 빠져나가 인공위성을 쏘아 올릴 때 인공위성이 지구에 추락하지 않으려면 얼마나 빨리 돌아가야 하는지 알아보려고 합니다.

먼저 엔운동에 대해 알아야 합니다. 원운동(circular motion)은 물체가 지나간 궤적이 원의 모양을 그리면서 일정 시간 후 다시 제자리로 돌아오는 운동입니다. 일정 시간 후 원래 위치로 돌아가기 위해 주기 운동(periodic motion)입니다. 지구를 도는 물체(인공위성 등)의 궤도는 원이라고 가정합시다. (아래 그림 (Figure 1) 참조)

Figure 1. Circular orbital mo tion around the Earth가 지구 주위를 도는 물체의 위치는 그림에서 보듯이 삼각함수로 표현할 수 있습니다. 이때 물체가 x축이 이루는 각도θ는 각속도ω(angular velocity)에 시간 t를 곱해서 표현할 수 있습니다.또한속도는위치의시간변화율이기때문에위치를시간에대해서미분합니다. 물체의 속도를 얻을 수 있습니다.이번 가속도는 속도의 시간 변화율이기 때문에 속도를 시간에 대한 미분으로 해서 물체의 가속도를 얻습니다.위치, 속도, 가속도는 모두 방향을 가진 벡터 양으로, 원운동하는 물체의 가속도 크기는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.그리고 물체가 원운동을 하게 하는 힘을 구심력(centripetal force)이라고 합니다. (Figure 1에서 F로 표시) 지구 주위를 도는 물체에 이 구심력이 발생하는 원인은 지구 중력 때문입니다. 그 때문에, 구심력의 방향은 항상 원궤도의 중심(즉 지구의 중심)을 향하고 있습니다. 따라서 뉴턴의 운동법칙에서 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.원운동을 하고 있는 물체의 관점에서는 지구의 중심을 향해서 힘이 계속 작용하고 있습니다. 그러나 만약 물체에 구심력만 작용하면 이 물체는 지구를 향해 계속 추락하게 됩니다. 따라서 원운동을 정확하게 표현하기 위해서는 이 물체에 구심력과 반대 방향의 가상력을 추가해야 합니다. 이 가상의 힘을 원심력(centrifugal force)이라고 합니다(Figure 1컬러-F라고 표시).

구심력의 원인은 지구의 중력이기 때문에 결국 구심력과 지구의 중력은 같다는 결론을 얻을 수 있습니다. 지구의 중력은 뉴턴의 중력법칙을 이용하여 표현할 수 있습니다.질량(mass), 길이(length), 시간(time)은 물리학에서 가장 중요하고 기본적인 양(quantity)입니다. 그래요...blog.naver.com 위 식을 각속도ω에 대해서 정리하면 다음과 같이 됩니다.그리고 각속도와 선속도의 관계에서 지구 주위의 궤도를 도는 물체의 속도를 얻을 수 있습니다.상식에 만유인력 상수 G, 지구의 질량 ME, 그리고 지구의 중심과 물체 사이의 거리 R에 숫자를 넣으면 속도 v를 얻을 수 있습니다. 이 속도를 궤도속도(orbital velocity)라고 부릅니다.

간단한 예시로 계산해 보겠습니다. 인공위성을 지구저궤도(Low Earth Orbit, LEO) 250km 상공에 쏘아 올리는 데 필요한 궤도 속도를 구하면 다음과 같습니다.즉, 인공위성이 250km 상공에서 7.755km/s의 속도로 돌아가야 궤도 원운동을 할 수 있다는 것을 의미합니다.